Ο Αποστόλης Παπακώστας είναι γεννημένος στις 2 Ιανουαρίου 1983. Ξεκίνησε το ποδόσφαιρο σε Ακαδημία Γερμανικής ομάδας σε ηλικία 9 ετών, το 1998 και σε ηλικία 15 ετών επέστρεψε στην Ελλάδα και αγωνίστηκε στην Ακαδημία Ορφέας, ενώ το καλοκαίρι του 2002 εντάσσεται σαν επαγγελματίας στα Τρίκαλα.
Στην ΑΕΛ ήρθε τον Ιανουάριο του 2003 και αγωνίστηκε συνολικά 3,5 χρόνια (95 συμμετοχές 5 γκολ). Συγκεκριμένα με την ΑΕΛ αγωνίστηκε το δεύτερο εξάμηνο της σεζόν 2002-2003 στη Γ’ Εθνική, τη σεζόν 2003-2004 πέτυχε την άνοδο στη Β’ Εθνική, στη συνέχεια πέτυχε την άνοδο στην Α’ Εθνική τη σεζόν 2004-2005. Αξίζει να σημειωθεί ότι τη σεζόν 2005-2006, έκανε ντεμπούτο στην Α’ Εθνική την 4η αγωνιστική στον εκτός έδρας αγώνα του πρωταθλήματος στην Τούμπα κόντρα στον ΠΑΟΚ (2-2). Μέτρησε συνολικά 11 συμμετοχές στο κορυφαίο ελληνικό πρωτάθλημα με τη βυσσινί φανέλα με το άλογο στο στήθος.
Το καλοκαίρι του 2006 πήγε στην Αναγέννηση Καρδίτσας, ενώ έπαιξε ακόμα σε Καβάλα, Αιολικό, Καστοριά, Α.Ο. Καρδίτσας, TSV Ganderkesee (Δ’ κατηγορία Γερμανίας), Διγενή Αρτεσιανού, Απόλλων Μακρυχωρίου.
Τέλος ο 42χρονος, Αποστόλης Παπακώστας, έχει εργαστεί ακόμα ως τεχνικός στις ομάδες του Απόλλωνα Μακρυχωρίου, του Α.Ο. Σελλάνων και στις ακαδημίες της Αναγέννησης Καρδίτσας.
